Verschiedene Wohnsitze  

Grenzüberschreitend gibt es den Begriff von Erst- und Zweitwohnsitz nicht. Steuerlich relevant für die Versteuerung deines Welteinkommen ist dort wo dein Lebensmittelpunkt ist. Certificate of Residence ist eine Meldebescheinigung, bekommst du in L im Rathaus deiner Wohngemeinde...

Ich glaube er meint ersten und zweiten Wohnsitz in Deutschland.

In Luxemburg existiert ein erster und zweiter Wohnsitz nicht, aber selbstverständlich kannst du dies in Deutschland so handhaben - auch als Grenzgänger. Ich würde dem Arbeitgeber die Adresse geben, wo dein Lebensmittelpunkt, also der Wohnort der Familie, ist.

Wenn du nach Luxemburg ziehen solltest, kannst du ebenfalls den deutschen Wohnsitz auch behalten. Das sind dann 2 Hauptwohnsitze innerhalb der EU

In Trier nennt sich das ganze "Haushalts- und Meldebescheinigung" und kostet 6 € beim Einwohneramt. In der deiner Heimatgemeinde gibt es sicher etwas vergleichbares, auch wenn die wahrscheinlich keine Erfahrungen mit Grenzgaengern haben 😉

Definition der unbeschränkten Steuerpflicht nach § 1 EStG: unbeschränkt steuerpflichtig ist, wer seinen Wohnsitz § 8 AO oder gewöhnlichen Haushalt § 9 AO im Inland hat. Folge -> Welteinkommensbesteuerung

Die unbeschränkte Steuerpflicht in Luxemburg ist der Deutschen sehr sehr ähnlich. Es kann also zu einer ungewünschten Doppelbesteuerung führen, weil sich hier die Frage nach dem Lebensmittelpunkt erklärungsbedürftig wird.

Bei Zweitwohnsitz in Deutschland, hier Trier, musst Du beachten, dass Trier eine Zweitwohnsitzsteuer erhebt. Dennoch solltest Du es bei dem Zweitwohnsitz in Trier belassen (nicht ummelden auf Erstwohnsitz), da Du sonst die Möglichkeit verlieren kannst den Zweitwohnsitz als Werbungskosten nach § 9 EStG (bis zu 1.000€ / Monat im Inland bzw. durchschnittliche 60qm Wohnpreis im Ausland) in der deutschen Steuererklärung ergebniswirksam abzuziehen. Mit dem Verlust der Abzugsmöglichkeit gehen auch Weitere Abzugsmöglichkeiten, wie Verpflegungsmehraufwendungen, Familienheimfahrten usw. verloren. Der Haupt- / Erstwohnsitz ist für das Finanzamt ein hinreichender Tatbestand deinen Lebensmittelpunkt in Trier zu sehen. Dich dann dagegen zu wehren kostet Dich viel Zeit, Mühe, Argumentationskunst und nicht selten auch Geld.