Arbeiten in D und L bei verschiedenen Arbeitgebern?  

Ja das ist grundsätzlich möglich.

Steuerrecht

Das Einkommen führt in beiden Länder zum sg Progressionsvorbehalt, da du Auslandseinkommen hast ist die deutsche Steuererklärung vorgeschrieben.

Sozialversicherung

Möglichkeit 1:

Der Anteil der Arbeitszeit/Einkommen im Land mit dem sg Lebensmittelpunkt liegt <25%. In diesem Fall muss der AG aus dem Wohnsitzland die Sozialversicherungen in Luxemburg abführen. Das ist wegen dem zusätzlichen Aufwand für den AG aber nicht gewollt.

Möglichkeit 2:

Der Anteil der Arbeitszeit/Einkommen im Land mit dem sg Lebensmittelpunkt liegt >25%. In diesem Fall muss der AG aus dem Ausland an die Sozialversicherungen in Deutschland abführen. Das ist wegen dem zusätzlichen Aufwand und höheren Arbeitgeberanteile für den AG aber nicht gewollt.

Für beide Fälle betrifft es jeweils den Arbeitgeber und den Arbeitnehmeranteil. Es sollte natürlich klar sein das in dem Land in dem nichts abgeführt wird auch keine Ansprüche existieren.

Und wie funktioniert das mit der Krankenkasse? Muss man sich bei bestehender Krankenversicherung in L auch bei einer Krankenkasse in D anmelden?

Hab ich doch oben beschrieben. Man ist nur in einem Land in der Sozialversicherungspflicht, wenn das Land mit dem Lebensmittelpunkt >25% vom Einkommen/Arbeitszeit ausmacht ist man da versichert und wenn es weniger als 25% sind ist man im Ausland versichert.

Das gilt wie oben beschrieben für ALLE Sozialversicherungen, es gilt das alles oder nichts Prinzip!